非球面镜片在理论上是怎么设计的?

嘿,你想自己动手,哦不,动笔设计一枚完美的非球面镜片吗?

让我们用简单的方法尝试计算一个理想的平凸透镜的形状吧,计算完之后再带你大致的讨论一下球差。

开始之前,先说几句。文章后面会有些恼人的数学,如果你不想看大可以跳过,看看结论就好。如果你有兴趣的话呢,就看下去。毕竟这年头设计点什么东西都要用到数学嘛。

先介绍介绍一个我们要用到的定理,也许大家在中学时候都没学过。

费马原理

费马原理(Fermat principle)最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出,又名“最短时间原理”。内容很简单,就这样:光线传播的路径是需时最少的路径。

费马原理也可以这样解释:光沿着所需时间为平稳的路径传播。这个“平稳”要用微分来具体解释,可以理解为一次导为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点。这个定律后来发展出了一个叫“最小作用量原理”的东西,被广泛应用在物理学上。

在一般研究中,我们这样描述:

光从空间的一点A到另一点B时,总沿着光程为某一定值的路径传播。

公式描述: 

\delta \int\limits_A^B {ndl = 0}

数学描述:光线在实际路径上的光程的变分为0。

好了,进入正题。

 

计算出一枚理想平凸透镜的形状

平凸透镜是比较简单的会聚透镜之一。我们以它为例,介绍一下一枚理想透镜的形状该是什么样子。

假若这枚透镜就是一枚单镜片镜头,我们不考虑色差问题,那么我们对它的期望就是:

a. 平行光入射时完全汇聚于一点,没有任何偏差。
b. 同一物距下所有物体聚焦于一个完美平面上,即焦平面。

接下来就建立一个直角坐标系利用简单的解析几何分析。

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我们把透镜置于如图的平面坐标系中。根据旋转对称原理选取其中的xOy系进行计算。

我们假定一束平行光入射该透镜。透镜参数已经明确的标在图中,故不再一一描述。我们先不假定它的曲线形状,而是直接计算来寻找曲线。

我们来做以下分析:

有上面对费马原理的介绍后,我们知道,以平行光入射并会聚到F'的所有光线都是具有相等的光程的。这就可以进行下一步了,知道条件了不就可以列方程了嘛。

可以这样考虑,最边缘的光线BF'与任何一条光线NMF'的光程应该是相等的。我们设出M的不定坐标(x , y),列方程求解(x , y)的轨迹方程,再代入y=±R截取就可以知道该透镜的单一曲面的形状了。

1.确定曲面形状

我们先来进行求解曲面形状的演算。首先根据费马原理列出如下原始方程:

nx + \sqrt {{{(f' - x)}^2} + {y^2}} = \sqrt {f{'^2} + {R^2}}

当我们解完化简之后,我们能得到以下结果:

({n^2} - 1){(x - \frac{{n\sqrt {f{'^2} + {R^2}} - f'}}{{{n^2} - 1}})^2} - {y^2} = \frac{{{{(nf' - \sqrt {f{'^2} + {R^2}} )}^2}}}{{{n^2} - 1}}

让我们来设两个参数换掉常数项。设: 

{x_0} = \frac{{n\sqrt {f{'^2} + {R^2}} - f'}}{{{n^2} - 1}}),a = \frac{{nf' - \sqrt {f{'^2} + {R^2}} }}{{\sqrt {{n^2} - 1} }}

估计已经有人看出些什么了。没错,带入参数换元后,我们的轨迹方程变成了:

({n^2} - 1)(x - {x_0}) - {y^2} = {a^2}

这不是双曲线方程吗?!没错,这里这个理想的透镜正是双曲线形的。根据旋转对称原理,我们以x轴为旋转轴,把y轴方向的曲线在空间旋转后就得到了一个曲面为旋转双曲面的镜片。因此我们也可以得到一个结论,真正理想的透镜一定不能是球面。

2.透镜的厚度

我们接下来探讨下一个问题。在学校里的学生,你们学透镜成像的时候,恐怕老师一定会提到“薄透镜”这个概念。这也暗示了,厚度不限制的透镜一定是不理想的。中学生用几何光学探讨问题时都强调是薄透镜也是这个原因。只有是厚度恰到好处的透镜,我们在作分析时才不致导致与现实差距过大。

既然透镜的厚度不能是任意的,那我们就分析下上面这个模型的状况。透镜顶点A的位置一定是有所限制的。
我们把A的坐标带入合适的方程计算: 

{x_A} = {x_0} - \frac{a}{{\sqrt {{n^2} - 1} }} = \frac{{\sqrt {f{'^2} + {R^2}} - f'}}{{n - 1}}

最后,我们知道,对于一个f'和n已经定下来的透镜来说,厚度应当与半径R有关,恰为上值才是理想的透镜。

接下来我们分析R。透镜的半径可否任意呢?

3.透镜通光孔径限制

这个没有明确的计算值,但是有个范围:

我们知道F'在透镜外一点,所以该平面系内A点坐标x≤f',这就是对R的限制条件。

我们可以列出:

\frac{{\sqrt {f{'^2} + {R^2}} - f'}}{{n - 1}} \le f'

结果就是:

R \le \sqrt {{n^2} - 1} \cdot f'

通过这些简单的计算,我们最终得到了一枚理想透镜的三个参数:曲面形状,中心厚度,通光半径。对于这样的平凸透镜,我们得到了它的曲面旋转方程,计算了R的范围,再通过R来计算合适的厚度。由此我们就能靠着这三个参数制造完美的透镜了。

尽管对于一些复杂的透镜来说(如有两个球面,或是其他设计),理论计算十分复杂,不过现在有了电子计算机,这一切已经不是障碍。那么照例说,只要我们找到所有镜片的理想曲面,那么就能造出没有像差的镜头了!

事实远非如此简单。

对于非球面镜片来说,最麻烦的莫过于加工工艺。在镜头里全部采用非球面镜片是相当不现实的。其中可行性很好的有:

复合非球面镜片:经一片精密塑形的光学塑料贴于玻璃表面,形成曲面。
研磨非球面镜片:这是实打实的加工方式,高端镜头的镜片就是用这种办法从一块玻璃毛坯研磨出来的,废品率极高。
模铸非球面镜片:基于成本和耐久性考量,直接采用精密加工的模子进行铸造。可用玻璃或塑料。

显然,现在的技术还没达到全镜头都可以用这样算好的非球面镜片的程度。

回过头来看,尽管说双曲线和圆有很大不同,但是在一定范围内,我们还是可以把一小部分双曲线作为圆的一部分来看,也就是说,在一些情况下,可以认为球面透镜是理想的,当然,这只是一种近似情况,但这也足够了。

球面像差的简单分析

球面像差是发生在经过透镜折射或面镜反射的光线,接近中心与靠近边缘的光线不能将影像聚集在一个点上的现象。

这在望远镜和照相机等光学仪器上都是一个严重缺点。
根据前面的计算,使得光线能聚焦在一个点上的透镜曲面不能是球面。很久以前的物理学家就发现了这类现象,直接证明了球差的必然性。

从已知的公式反推来看,球面像差与镜片半径R的四次方成正比,与焦距f'的三次方成反比,所以在大光圈镜头上,球差会尤为明显。在透镜系统中,可以使用凸透镜和凹透镜的组合来一同减少球面像差和色差。具体原理感兴趣的可以自己进行研究,由于问题十分复杂,因此并不在此讨论了。

当然,经过理想计算的非球面透镜原理十分简单,不过加工很是麻烦。由于从理论上根本的解决了球差,所以在处理这个问题上理想的透镜效果要出色得多。

接下来列出一些对于实际球面的像差计算情形。

假若还是上面的镜片,只有一个球面。那么设:
PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点的距离,球面左右介质的折射率分别为 n,n'(此时不必考虑镜片折射率);非近轴入射角,折射角分别为J,J';非近轴入射光线和折射光线与光轴的夹角分别为U,U';近轴光线相对的入射角为α的话,经过简化的公式如下: 

Aberration=\frac{{ - 2n\alpha \cdot PA \cdot \sin (\frac{J}{2} - \frac{{J'}}{2})\sin (\frac{{J'}}{2} - \frac{U}{2})}}{{n{'^2}\sin U}}

对于一般透镜,正如上文所介绍,反推回的近似结论是:球面像差与镜片半径R的四次方成正比,与焦距f'的三次方成反比。

不过,有几个特殊情况如下:

a. 若PA=0,物体和像与球面顶点重合。
b. 若I'=I,物体和物象在球面的曲率中心上。
c. α=0,无球差。
d. I=U'或I'=U,此时球面成为消球差曲面。

对于多组共轴球面,也有对应的球差量公式。因为超级复杂,所以就不拿出来吓人了。

小结和一些常识:

1.球差不可避免,除非全部采用非球面镜片
2.可以用复消色差镜片弥补球差缺陷
3.规律是,光圈越大球差越明显,焦距越短球差更明显。
4.对质量不高的镜头可用缩小光圈的办法避免大范围球差。
5.长焦镜头很少会出现球差现象(所以很少用非球面镜片),色差才是大问题。

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